2次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの負の解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(2) 解の和が負 ($-\frac{b}{a} < 0$)

(3) 解の積が正 ($\frac{c}{a} > 0$)

今回の2次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ に当てはめると、

(1) 判別式 $D = (2m)^2 - 4(m^2 + 2m - 8) > 0$

(2) 解の和 $-2m < 0$

(3) 解の積 $m^2 + 2m - 8 > 0$

(1)より、

$4m^2 - 4m^2 - 8m + 32 > 0$

$-8m + 32 > 0$

$-8m > -32$

$m < 4$

(2)より、

$-2m < 0$

$m > 0$

(3)より、

$m^2 + 2m - 8 > 0$

$(m + 4)(m - 2) > 0$

$m < -4$ または $m > 2$

上記の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < 4$, $m > 0$, $m < -4$ または $m > 2$

したがって、$2 < m < 4$

3. 最終的な答え

$2 < m < 4$