3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=-2$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=-2$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x=1$ と $x=-2$ が解であることから、それぞれの方程式に代入します。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 - 1^2 + a(1) + b = 0$

$1 - 1 + a + b = 0$

$a + b = 0$ (1)

$x=-2$ を代入すると、

$(-2)^3 - (-2)^2 + a(-2) + b = 0$

$-8 - 4 - 2a + b = 0$

$-2a + b = 12$ (2)

(1)式と(2)式から連立方程式を解きます。

(1)式より $b = -a$ なので、(2)式に代入すると、

$-2a - a = 12$

$-3a = 12$

$a = -4$

$b = -a$ より、

$b = -(-4) = 4$

したがって、$a=-4$, $b=4$ となります。

元の3次方程式は $x^3 - x^2 -4x + 4 = 0$ となります。

$x=1$ と $x=-2$ が解であることから、$(x-1)$ と $(x+2)$ を因数に持つことがわかります。

したがって、$x^3 - x^2 -4x + 4 = (x-1)(x+2)(x-c)$ (cは残りの解) と因数分解できます。

$(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$ であるから、

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x^2 + x - 2)(x - 2)$

$= x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x - 2x + 4$

$= x^3 - x^2 - 4x + 4$

したがって、残りの解は $x=2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 4$

他の解：$2$