$a, b, c$ は実数であるとき、$a = b$ と同値な条件を以下の選択肢の中からすべて選ぶ問題です。 (1) $a+c = b+c$ (2) $a^2 = b^2$ (3) $(a-b)^2 = 0$

1. 問題の内容

$a, b, c$ は実数であるとき、$a = b$ と同値な条件を以下の選択肢の中からすべて選ぶ問題です。

(1) $a+c = b+c$

(2) $a^2 = b^2$

(3) $(a-b)^2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a+c = b+c$ について

両辺から $c$ を引くと、$a = b$ となります。したがって、$a+c = b+c$ は $a = b$ と同値です。

(2) $a^2 = b^2$ について

$a^2 = b^2$ より、$a^2 - b^2 = 0$ となります。因数分解すると、$(a-b)(a+b) = 0$ となります。

したがって、$a-b = 0$ または $a+b = 0$ となります。

$a-b = 0$ のとき、$a = b$ となりますが、$a+b = 0$ のとき、$a = -b$ となります。

例えば、$a=2$、$b=-2$ のとき、$a^2 = 4$、$b^2 = 4$ となり、$a^2 = b^2$ は成立しますが、$a=b$ は成立しません。

したがって、$a^2 = b^2$ は $a = b$ と同値ではありません。

(3) $(a-b)^2 = 0$ について

$(a-b)^2 = 0$ のとき、$a-b = 0$ となります。したがって、$a = b$ となります。

よって、$(a-b)^2 = 0$ は $a = b$ と同値です。

3. 最終的な答え

(1)と(3)