$(\frac{1}{2})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ であるとします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{2})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ であるとします。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{2})^{30}$ の常用対数をとり、その値を計算します。

$\log_{10} (\frac{1}{2})^{30} = 30 \log_{10} \frac{1}{2} = 30 (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) = 30(0 - \log_{10} 2)$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入すると、

$30(0 - 0.3010) = 30(-0.3010) = -9.03$

ここで、$x = (\frac{1}{2})^{30}$ とすると、$\log_{10} x = -9.03$ となります。

この値を整数部分と小数部分に分けます。

$\log_{10} x = -9.03 = -10 + 0.97$

このとき、$\log_{10} x = -10 + 0.97$ であるから、$x = 10^{-10} \times 10^{0.97}$ となります。

$10^{0.97}$ は、$\log_{10} 1 = 0$ と $\log_{10} 10 = 1$ の間にあるので、$10^{0.97}$ は1と10の間の数です。つまり、$10^{0.97}$ は0ではありません。

したがって、$x = (\frac{1}{2})^{30} = 10^{-10} \times 10^{0.97}$ は、小数第10位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第10位