与えられた置換 $p$ を互換の積で表し、置換の符号 $\mathrm{sgn}(p)$ を求めよ。具体的には以下の4つの置換について考える。 (1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (3) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (4) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & n & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換 $p$ を互換の積で表し、置換の符号 $\mathrm{sgn}(p)$ を求めよ。具体的には以下の4つの置換について考える。

(1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(4) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & n & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換を互換の積で表すには、巡回置換の分解を利用すると便利である。

置換の符号は、互換の積で表したときの互換の個数の偶奇によって決まる。互換の個数が偶数ならば符号は1、奇数ならば符号は-1である。

(1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 4 \mapsto 1$ なので、巡回置換 $(1\ 3\ 2\ 4)$ であり、$(1\ 3\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$ と分解できる。互換の個数は3なので、$\mathrm{sgn}(p) = -1$。

(2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$1 \mapsto 2 \mapsto 4 \mapsto 1$ および $3 \mapsto 5 \mapsto 3$ なので、$(1\ 2\ 4)(3\ 5)$ となる。

$(1\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)$ および $(3\ 5)$ なので、$p = (1\ 4)(1\ 2)(3\ 5)$ となる。互換の個数は3なので、$\mathrm{sgn}(p) = -1$。

(3) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$1 \mapsto 4 \mapsto 1$ および $2 \mapsto 2$ および $3 \mapsto 5 \mapsto 3$ なので、$(1\ 4)(3\ 5)$ となる。互換の個数は2なので、$\mathrm{sgn}(p) = 1$。

(4) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & n & 1 \end{pmatrix}$

これは $(1\ 2\ 3\ \cdots\ n)$ という巡回置換である。

$(1\ 2\ 3\ \cdots\ n) = (1\ n)(1\ n-1)\cdots(1\ 3)(1\ 2)$ と分解できる。互換の個数は $n-1$ なので、$\mathrm{sgn}(p) = (-1)^{n-1}$。

3. 最終的な答え

(1) $p = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$, $\mathrm{sgn}(p) = -1$

(2) $p = (1\ 4)(1\ 2)(3\ 5)$, $\mathrm{sgn}(p) = -1$

(3) $p = (1\ 4)(3\ 5)$, $\mathrm{sgn}(p) = 1$

(4) $p = (1\ n)(1\ n-1)\cdots(1\ 3)(1\ 2)$, $\mathrm{sgn}(p) = (-1)^{n-1}$