$k$ は 0 でない定数とする。すべての実数 $x$ に対して、2 次不等式 $kx^2 + 4x + k + 3 > 0$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ は 0 でない定数とする。すべての実数 $x$ に対して、2 次不等式 $kx^2 + 4x + k + 3 > 0$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $kx^2 + 4x + k + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件を考える。

まず、$k>0$である必要がある。なぜなら、$k<0$の場合、$x$を十分に大きな値にすると、$kx^2$の項が支配的になり、$kx^2 + 4x + k + 3 < 0$となる$x$が存在するからである。

次に、$k > 0$ のもとで、2次方程式 $kx^2 + 4x + k + 3 = 0$ が実数解を持たないことが必要十分条件となる。判別式を$D$とすると、

$D = 4^2 - 4k(k+3) < 0$

$16 - 4k^2 - 12k < 0$

$4k^2 + 12k - 16 > 0$

$k^2 + 3k - 4 > 0$

$(k+4)(k-1) > 0$

この不等式を解くと、$k < -4$ または $k > 1$。

$k > 0$ である必要があるので、$k > 1$ が必要。

3. 最終的な答え

$k > 1$