数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4n^2 - 3n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4n^2 - 3n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の一般項 $a_n$ を求めるためには、$n \geq 2$ のとき、 $a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。$n=1$ のときは、$a_1 = S_1$ となります。

まず、$S_1$ を求めます。

$S_1 = 4(1)^2 - 3(1) = 4 - 3 = 1$

したがって、$a_1 = S_1 = 1$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$S_n = 4n^2 - 3n$

$S_{n-1} = 4(n-1)^2 - 3(n-1) = 4(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 = 4n^2 - 8n + 4 - 3n + 3 = 4n^2 - 11n + 7$

よって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (4n^2 - 3n) - (4n^2 - 11n + 7) = 4n^2 - 3n - 4n^2 + 11n - 7 = 8n - 7$

ここで、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 8n - 7$ となりました。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 8(1) - 7 = 8 - 7 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致します。

したがって、$a_n = 8n - 7$ は $n \geq 1$ で成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = 8n - 7$