$x$ についての不等式 $\frac{2}{3}a - \frac{x}{3} + 2 < \frac{x}{3} + 2 < \frac{a}{3} + \frac{22}{9}$ を満たす整数 $x$ が $3$ と $4$ のみであるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $\frac{2}{3}a - \frac{x}{3} + 2 < \frac{x}{3} + 2 < \frac{a}{3} + \frac{22}{9}$ を満たす整数 $x$ が $3$ と $4$ のみであるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\frac{2}{3}a - \frac{x}{3} + 2 < \frac{x}{3} + 2 < \frac{a}{3} + \frac{22}{9}$

それぞれの不等式に分けて考えます。

(1) $\frac{2}{3}a - \frac{x}{3} + 2 < \frac{x}{3} + 2$

両辺から $2$ を引くと

$\frac{2}{3}a - \frac{x}{3} < \frac{x}{3}$

両辺に $3$ をかけると

$2a - x < x$

$2a < 2x$

$a < x$

(2) $\frac{x}{3} + 2 < \frac{a}{3} + \frac{22}{9}$

両辺から $2$ を引くと

$\frac{x}{3} < \frac{a}{3} + \frac{22}{9} - 2 = \frac{a}{3} + \frac{22}{9} - \frac{18}{9} = \frac{a}{3} + \frac{4}{9}$

両辺に $9$ をかけると

$3x < 3a + 4$

$3x - 4 < 3a$

$\frac{3x - 4}{3} < a$

$x - \frac{4}{3} < a$

以上の結果から、$x$ についての不等式は

$a < x$ かつ $x - \frac{4}{3} < a$

となります。したがって、

$x - \frac{4}{3} < a < x$

となります。

この不等式を満たす整数 $x$ が $3$ と $4$ のみであるという条件から、$x$ は $3$ と $4$ のみをとり、それ以外の整数は含まれない必要があります。

したがって、$x$ が $3$ のとき、$3 - \frac{4}{3} < a < 3$ より $\frac{5}{3} < a < 3$ となります。

また、$x$ が $4$ のとき、$4 - \frac{4}{3} < a < 4$ より $\frac{8}{3} < a < 4$ となります。

整数 $x$ が $3$ と $4$ のみであることから、

$2$ は不等式を満たさず、$5$ も不等式を満たさない必要があります。

$x = 2$ のとき、$2 - \frac{4}{3} < a < 2$ より $\frac{2}{3} < a < 2$ ですが、$a > 2$ であれば $x=2$ も満たしてしまうため、$a$ は $2$ 以下でなければなりません。

$x = 5$ のとき、$5 - \frac{4}{3} < a < 5$ より $\frac{11}{3} < a < 5$ ですが、$a < 5$ であれば $x=5$ も満たしてしまうため、$a$ は $5$ 以上でなければなりません。

条件を満たすためには、

$\frac{5}{3} < a < 3$ かつ $\frac{8}{3} < a < 4$

を満たす必要があります。

また、$x = 2$ を満たさないためには $a \leq \frac{2}{3}$ または $a \geq 2$ である必要があり、$x=5$ を満たさないためには $a \leq \frac{11}{3}$ または $a \geq 5$ である必要があります。

以上のことを考慮すると、

$2 \le \frac{5}{3} < a < 3$ かつ $3 < \frac{8}{3} < a < 4$ の両方を考慮すると、

$a$ の範囲は $\frac{8}{3} \leq a < 3$ または $4 \leq a < 5$ となります。

$x=2$ は満たさないので、$a \le x-\frac{4}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ となる必要があるので、 $a= \frac{2}{3}$

$x=5$ は満たさないので、$a \ge x = 5$となる必要があるので、$a = 5$

$x - \frac{4}{3} < a < x$ において、$3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3} < a < 3$ かつ $4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} < a < 4$ である必要があるので、

$\frac{8}{3} \le a < 3$ または $\frac{11}{3} \le a < 4$

となります。$x=3,4$ 以外を満たしてはいけないので、$a=3$ のときは$x =3,4$ となり、$a=4$ のときは$x=4$ となる。

よって$\frac{8}{3} \leq a < 3$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3} \leq a < 3$