実数を成分とする $m \times n$ 行列全体のなすベクトル空間 $M(m, n)$ において、$(A, B) = tr(A^T B)$ で定義される演算が内積であることを示す。

1. 問題の内容

実数を成分とする $m \times n$ 行列全体のなすベクトル空間 $M(m, n)$ において、$(A, B) = tr(A^T B)$ で定義される演算が内積であることを示す。

2. 解き方の手順

内積の定義を満たすことを確認する。内積の定義は以下の4つの性質を持つ必要がある。

(1) $(A, A) \geq 0$ であり、$(A, A) = 0$ ならば $A = 0$ (正定値性)

(2) $(A, B) = (B, A)$ (対称性)

(3) $(cA, B) = c(A, B)$ (斉次性)

(4) $(A + B, C) = (A, C) + (B, C)$ (加法性)

(1) 正定値性を示す。

$(A, A) = tr(A^T A)$ である。行列 $A^T A$ の対角成分は、それぞれAの列ベクトルのノルムの2乗である。トレースは対角成分の和なので、$(A, A)$ は各列ベクトルのノルムの2乗の和となり、これは非負である。

$(A, A) = 0$ となるとき、各列ベクトルのノルムが0となる必要があり、これは行列 $A$ の全ての成分が0であることを意味する。したがって、$A = 0$。

(2) 対称性を示す。

$(A, B) = tr(A^T B)$ であり、$(B, A) = tr(B^T A)$ である。トレースの性質として、$tr(XY) = tr(YX)$ がある。

したがって、$tr(B^T A) = tr(A (B^T)) = tr((A (B^T))^T) = tr(B A^T) = tr(A^T B) = (A, B)$。

(3) 斉次性を示す。

$(cA, B) = tr((cA)^T B) = tr(cA^T B) = c \ tr(A^T B) = c(A, B)$。

(4) 加法性を示す。

$(A + B, C) = tr((A + B)^T C) = tr((A^T + B^T) C) = tr(A^T C + B^T C) = tr(A^T C) + tr(B^T C) = (A, C) + (B, C)$。

以上の4つの性質が全て満たされるので、与えられた演算は内積である。

3. 最終的な答え

$(A, B) = tr(A^T B)$ は内積である。