問題は、数列の和 $S_n$ が与えられたとき、その数列の一般項を求めることです。与えられた式は $S_n = n^3 + 2$ です。

1. 問題の内容

問題は、数列の和 $S_n$ が与えられたとき、その数列の一般項を求めることです。与えられた式は $S_n = n^3 + 2$ です。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_n$ とすると、$S_n$ は初項から第 $n$ 項までの和を表します。すなわち、$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ です。

一般項 $a_n$ を求めるには、$S_n$ と $S_{n-1}$ の差を考えます。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

まず、$S_{n-1}$ を求めます。$S_n = n^3 + 2$ の $n$ を $n-1$ に置き換えると、

$S_{n-1} = (n-1)^3 + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n + 1$

次に、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$a_n = (n^3 + 2) - (n^3 - 3n^2 + 3n + 1) = n^3 + 2 - n^3 + 3n^2 - 3n - 1 = 3n^2 - 3n + 1$

これは、$n \ge 2$ で成り立つ式です。$n=1$ のとき、$a_1 = S_1$ です。

$S_1 = 1^3 + 2 = 3$

$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$

したがって、$a_1 = 3$ であり、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \ge 2$) です。$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ は $n=1$ のとき成り立ちません。

まとめると、$a_1 = 3$ であり、$n \ge 2$ のとき $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ です。

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \ge 2$)