$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、以下の問題を解きます。 (1) $x$ の分母を有理化せよ。 (2) 次の式の値を求めよ。 　① $x + y$ 　② $x^2 + y^2$ 　③ $x^3 + y^3$ 　④ $\frac{x^4}{y} + \frac{y^4}{x}$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、以下の問題を解きます。

(1) $x$ の分母を有理化せよ。

(2) 次の式の値を求めよ。

　① $x + y$

　② $x^2 + y^2$

　③ $x^3 + y^3$

　④ $\frac{x^4}{y} + \frac{y^4}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x$ の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母の共役な式 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) ① $x + y$ を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

$x + y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

② $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$xy = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$

③ $x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x^2 + y^2) - xy)$

$x^3 + y^3 = \sqrt{5} (4 - \frac{1}{2}) = \sqrt{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

④ $\frac{x^4}{y} + \frac{y^4}{x}$ を計算します。

$\frac{x^4}{y} + \frac{y^4}{x} = \frac{x^5 + y^5}{xy}$

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = 4\cdot \frac{7\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5} = 14\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{56\sqrt{5} - \sqrt{5}}{4} = \frac{55\sqrt{5}}{4}$

$\frac{x^4}{y} + \frac{y^4}{x} = \frac{\frac{55\sqrt{5}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{55\sqrt{5}}{4} \cdot 2 = \frac{55\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) ① $\sqrt{5}$

　② $4$

　③ $\frac{7\sqrt{5}}{2}$

　④ $\frac{55\sqrt{5}}{2}$