与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて計算を簡略化します。

まず、1行目を基準にして他の行の1列目の成分を0にします。

2行目に1行目の3倍を加えます。

3行目に1行目の-1/2倍を加えます。

4行目に1行目の-1倍を加えます。

$ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} \rightarrow

\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \end{vmatrix} $

次に、3行目を基準にして4行目の3列目の成分を0にします。

4行目に3行目の-10倍を加えます。

$ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \end{vmatrix} \rightarrow

\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & -1 & 0 & 127 \end{vmatrix} $

次に、2行目を基準にして4行目の2列目の成分を0にします。

4行目に2行目を加えます。

$ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & -1 & 0 & 127 \end{vmatrix} \rightarrow

\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & 0 & -1 & 137 \end{vmatrix} $

次に、3行目を基準にして4行目の3列目の成分を0にします。

4行目に3行目の2倍を加えます。

$ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & 0 & -1 & 137 \end{vmatrix} \rightarrow

\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\ 0 & 0 & 0 & 112 \end{vmatrix} $

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

行列式 = $2 \cdot 1 \cdot (1/2) \cdot 112 = 112$

3. 最終的な答え

112