$\sqrt{11 + \sqrt{72}}$を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{11 + \sqrt{72}}$を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ の形になることを期待します。

このとき、両辺を2乗すると、

$a + \sqrt{b} = x + y + 2\sqrt{xy}$

したがって、$a = x + y$ かつ $b = 4xy$ となる $x$ と $y$ を探します。

この問題では、$a = 11$ で $b = 72$ なので、$x + y = 11$ かつ $4xy = 72$, つまり $xy = 18$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x$ と $y$ は $t^2 - 11t + 18 = 0$ の解となります。

この二次方程式を解くと、$(t - 2)(t - 9) = 0$ より $t = 2, 9$ となります。

したがって、$x = 9$、$y = 2$ とすると、

$\sqrt{11 + \sqrt{72}} = \sqrt{9} + \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$3 + \sqrt{2}$