2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフをx軸方向に-1だけ平行移動したら点(0, 10)を通った。移動後のグラフをx軸方向に-1だけ平行移動したら原点(0, 0)を通り、さらにx軸方向に-5だけ平行移動したら再び点(0, 10)を通った。このとき、定数a, b, cの値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフをx軸方向に-1だけ平行移動したら点(0, 10)を通った。移動後のグラフをx軸方向に-1だけ平行移動したら原点(0, 0)を通り、さらにx軸方向に-5だけ平行移動したら再び点(0, 10)を通った。このとき、定数a, b, cの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x軸方向に-1だけ平行移動したグラフは、元の関数に $x$ を $x+1$ で置き換えたものになります。つまり、

$y = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$

このグラフが(0, 10)を通るので、

$10 = a(0+1)^2 + b(0+1) + c$

$10 = a + b + c$ (1)

次に、このグラフをさらにx軸方向に-1だけ平行移動したグラフは、

$y = a(x+1+1)^2 + b(x+1+1) + c$

$y = a(x+2)^2 + b(x+2) + c$

このグラフが原点(0, 0)を通るので、

$0 = a(0+2)^2 + b(0+2) + c$

$0 = 4a + 2b + c$ (2)

最後に、原点を通るグラフをx軸方向に-5だけ平行移動したグラフは、

$y = a(x+5+2)^2 + b(x+5+2) + c$

$y = a(x+7)^2 + b(x+7) + c$

このグラフが再び(0, 10)を通るので、

$10 = a(0+7)^2 + b(0+7) + c$

$10 = 49a + 7b + c$ (3)

(1), (2), (3)の3つの式からa, b, cを求めます。

(1)より $c = 10 - a - b$。これを(2)と(3)に代入すると、

$0 = 4a + 2b + (10 - a - b)$

$0 = 3a + b + 10$ (4)

$10 = 49a + 7b + (10 - a - b)$

$0 = 48a + 6b$

$0 = 8a + b$ (5)

(5)より $b = -8a$。これを(4)に代入すると、

$0 = 3a + (-8a) + 10$

$0 = -5a + 10$

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$を(5)に代入すると、

$b = -8(2) = -16$

$a = 2$と$b = -16$を(1)に代入すると、

$10 = 2 + (-16) + c$

$10 = -14 + c$

$c = 24$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -16$, $c = 24$