初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3^n - 1$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3^n - 1$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題を解きます。

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて以下のように表すことができます。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1}$ (for $n \ge 2$)

まず、$a_1$ を求めます。

$S_1 = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2$

したがって、$a_1 = 2$

次に、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$a_n = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1)$

$a_n = 3^n - 1 - 3^{n-1} + 1$

$a_n = 3^n - 3^{n-1}$

$a_n = 3^{n-1} \times 3 - 3^{n-1}$

$a_n = 3^{n-1} (3 - 1)$

$a_n = 3^{n-1} \times 2$

$a_n = 2 \times 3^{n-1}$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2 \times 3^{1-1} = 2 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$ となり、$a_1 = 2$ と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \times 3^{n-1}$