与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ a & 0 & c & b \\ b & c & 0 & a \\ c & b & a & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

0 & a & b & c \\

a & 0 & c & b \\

b & c & 0 & a \\

c & b & a & 0

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法があります。ここでは、1行目で余因子展開を行います。

$\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

0 & a & b & c \\

a & 0 & c & b \\

b & c & 0 & a \\

c & b & a & 0

\end{pmatrix}

&= 0 \cdot C_{11} - a \cdot C_{12} + b \cdot C_{13} - c \cdot C_{14} \\

&= -a \cdot (-1)^{1+2} \det \begin{pmatrix}

a & c & b \\

b & 0 & a \\

c & a & 0

\end{pmatrix} + b \cdot (-1)^{1+3} \det \begin{pmatrix}

a & 0 & b \\

b & c & a \\

c & b & 0

\end{pmatrix} - c \cdot (-1)^{1+4} \det \begin{pmatrix}

a & 0 & c \\

b & c & 0 \\

c & b & a

\end{pmatrix}

\end{aligned}$

ここで、3x3行列の行列式をそれぞれ計算します。

$\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

a & c & b \\

b & 0 & a \\

c & a & 0

\end{pmatrix} &= a(0-a^2) - c(0-ac) + b(ab-0) \\

&= -a^3 + ac^2 + ab^2

\end{aligned}$

$\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

a & 0 & b \\

b & c & a \\

c & b & 0

\end{pmatrix} &= a(0-ab) - 0 + b(b^2-c^2) \\

&= -a^2b + b^3 - bc^2

\end{aligned}$

$\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

a & 0 & c \\

b & c & 0 \\

c & b & a

\end{pmatrix} &= a(ca-0) - 0 + c(b^2-c^2) \\

&= a^2c + cb^2 - c^3

\end{aligned}$

これらを元の式に代入します。

$\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

0 & a & b & c \\

a & 0 & c & b \\

b & c & 0 & a \\

c & b & a & 0

\end{pmatrix}

&= a(-a^3 + ac^2 + ab^2) + b(-a^2b + b^3 - bc^2) + c(-a^2c - cb^2 + c^3) \\

&= -a^4 + a^2c^2 + a^2b^2 - a^2b^2 + b^4 - b^2c^2 - a^2c^2 - cb^2c + c^4 \\

&= -a^4 + b^4 + c^4 -2b^2c^2 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2a^2b^2+ 2a^2c^2 -2b^2c^2 \\

&= a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 \\

&= -(a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - 4b^2c^2)\\

&= -(a^2-b^2-c^2-2bc)(a^2-b^2-c^2+2bc) \\

&= -[(a^2 - (b^2 + c^2)) +2bc][(a^2-(b^2+c^2))-2bc] \\

&= -[(b+c)^2 - a^2][(b-c)^2 - a^2] \\

&= -[(b+c+a)(b+c-a)(b-c-a)(b-c+a)] \\

&= (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \\

&= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

&= -[a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2] \\

&= -(a^4 + b^4 + c^4) + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) \\

\end{aligned}$

別の計算

$(a^2+b^2+c^2)^2= a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

与えられた行列式の値は

$2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4$

3. 最終的な答え

$2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4$

または

$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

または

$4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2 = 4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2$

など。