与えられた行列 $ \begin{pmatrix} a & b & c \\ \frac{i}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1+i}{\sqrt{3}} \\ \frac{1-i}{\sqrt{7}} & \frac{2i}{\sqrt{7}} & \frac{i}{\sqrt{7}} \end{pmatrix} $ がユニタリ行列となるように、$a, b, c$を定める。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

a & b & c \\

\frac{i}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1+i}{\sqrt{3}} \\

\frac{1-i}{\sqrt{7}} & \frac{2i}{\sqrt{7}} & \frac{i}{\sqrt{7}}

\end{pmatrix}

$$

がユニタリ行列となるように、$a, b, c$を定める。

2. 解き方の手順

ユニタリ行列とは、その共役転置行列との積が単位行列になる行列のことである。

まず、与えられた行列を$A$と置く。

$A$がユニタリ行列であるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

* 各列のベクトルの大きさの2乗の和が1である。

* 異なる列のベクトルの内積が0である。

$A$の各列を$v_1, v_2, v_3$とする。

$$

v_1 = \begin{pmatrix} a \\ \frac{i}{\sqrt{3}} \\ \frac{1-i}{\sqrt{7}} \end{pmatrix},

v_2 = \begin{pmatrix} b \\ 0 \\ \frac{2i}{\sqrt{7}} \end{pmatrix},

v_3 = \begin{pmatrix} c \\ \frac{1+i}{\sqrt{3}} \\ \frac{i}{\sqrt{7}} \end{pmatrix}

$$

まず、各列のベクトルの大きさの2乗の和が1であるという条件から、

$|a|^2 + |\frac{i}{\sqrt{3}}|^2 + |\frac{1-i}{\sqrt{7}}|^2 = 1$

$|b|^2 + |0|^2 + |\frac{2i}{\sqrt{7}}|^2 = 1$

$|c|^2 + |\frac{1+i}{\sqrt{3}}|^2 + |\frac{i}{\sqrt{7}}|^2 = 1$

$|a|^2 + \frac{1}{3} + \frac{2}{7} = 1$

$|b|^2 + 0 + \frac{4}{7} = 1$

$|c|^2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} = 1$

$|a|^2 = 1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{21-7-6}{21} = \frac{8}{21}$

$|b|^2 = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

$|c|^2 = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{7} = \frac{21-14-3}{21} = \frac{4}{21}$

次に、異なる列のベクトルの内積が0であるという条件から、

$\overline{a} \frac{i}{\sqrt{3}} + \overline{b} \cdot 0 + \overline{c} \frac{1+i}{\sqrt{3}} = 0$

$\overline{a} \frac{1-i}{\sqrt{7}} + \overline{b} \frac{2i}{\sqrt{7}} + \overline{c} \frac{i}{\sqrt{7}} = 0$

$\frac{\overline{i}}{\sqrt{3}} \cdot 0 + 0 \frac{1+i}{\sqrt{3}} + \frac{\overline{1-i}}{\sqrt{7}} \frac{2i}{\sqrt{7}} + 0 \frac{i}{\sqrt{7}} + \frac{\overline{1+i}}{\sqrt{3}} \frac{i}{\sqrt{7}} = 0$

$v_1 \cdot v_2 = \overline{a}b + \frac{\overline{i}}{\sqrt{3}} 0 + \frac{\overline{1-i}}{\sqrt{7}} \frac{2i}{\sqrt{7}} = \overline{a}b + \frac{1+i}{\sqrt{7}} \frac{2i}{\sqrt{7}} = 0$

$\overline{a}b + \frac{2i - 2}{7} = 0 \implies \overline{a}b = \frac{2-2i}{7}$

$v_1 \cdot v_3 = \overline{a}c + \frac{\overline{i}}{\sqrt{3}} \frac{1+i}{\sqrt{3}} + \frac{\overline{1-i}}{\sqrt{7}} \frac{i}{\sqrt{7}} = \overline{a}c + \frac{-i+1}{3} + \frac{1+i}{7} = 0$

$\overline{a}c + \frac{7-7i+3+3i}{21} = 0 \implies \overline{a}c = -\frac{10-4i}{21}$

$v_2 \cdot v_3 = \overline{b}c + 0 + \frac{\overline{2i}}{\sqrt{7}} \frac{i}{\sqrt{7}} = \overline{b}c + \frac{-2i^2}{7} = \overline{b}c + \frac{2}{7} = 0$

$\overline{b}c = -\frac{2}{7}$

$a = \sqrt{\frac{8}{21}}e^{i\theta_1}, b = \sqrt{\frac{3}{7}}e^{i\theta_2}, c = \sqrt{\frac{4}{21}}e^{i\theta_3}$

$\sqrt{\frac{8}{21}}e^{-i\theta_1} \sqrt{\frac{3}{7}}e^{i\theta_2} = \frac{2-2i}{7}$

$\sqrt{\frac{24}{147}} e^{i(\theta_2 - \theta_1)} = \frac{2-2i}{7}$

$\sqrt{\frac{8}{49}} e^{i(\theta_2 - \theta_1)} = \frac{2-2i}{7}$

$\frac{2\sqrt{2}}{7} e^{i(\theta_2 - \theta_1)} = \frac{2-2i}{7}$

$e^{i(\theta_2 - \theta_1)} = \frac{1-i}{\sqrt{2}} = e^{-i\pi/4}$

$\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{4}$

$\sqrt{\frac{8}{21}} e^{-i\theta_1} \sqrt{\frac{4}{21}} e^{i\theta_3} = -\frac{10-4i}{21}$

$\sqrt{\frac{32}{441}} e^{i(\theta_3 - \theta_1)} = -\frac{10-4i}{21}$

$\frac{4\sqrt{2}}{21} e^{i(\theta_3 - \theta_1)} = -\frac{10-4i}{21}$

$e^{i(\theta_3 - \theta_1)} = \frac{-5+2i}{2\sqrt{2}}$

$\sqrt{\frac{3}{7}} e^{-i\theta_2} \sqrt{\frac{4}{21}} e^{i\theta_3} = -\frac{2}{7}$

$\sqrt{\frac{12}{147}} e^{i(\theta_3 - \theta_2)} = -\frac{2}{7}$

$\sqrt{\frac{4}{49}} e^{i(\theta_3 - \theta_2)} = -\frac{2}{7}$

$\frac{2}{7} e^{i(\theta_3 - \theta_2)} = -\frac{2}{7}$

$e^{i(\theta_3 - \theta_2)} = -1 = e^{i\pi}$

$\theta_3 - \theta_2 = \pi$

$\theta_3 = \theta_2 + \pi$

$\theta_2 = \theta_1 - \frac{\pi}{4}$

$\theta_3 = \theta_1 - \frac{\pi}{4} + \pi = \theta_1 + \frac{3\pi}{4}$

$e^{i(\frac{3\pi}{4})} = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$

$e^{i(\theta_3 - \theta_1)} = \frac{-5+2i}{2\sqrt{2}} = e^{i(\frac{3\pi}{4})}$

$-5+2i = -1+i$, not the same.

$a = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}, b = \sqrt{\frac{3}{7}}, c = \frac{2}{\sqrt{21}}$

$a = \sqrt{\frac{8}{21}}, b = \sqrt{\frac{3}{7}}, c = \sqrt{\frac{4}{21}}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2\sqrt{21}}{21}, b = \frac{\sqrt{21}}{7}, c = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

ただし位相は問題文から一意には定まらない。