$a$ は正の定数とします。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とします。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

よって、この2次関数の頂点は $(2, 5)$ であり、上に凸な放物線です。

(1) 最大値を求める

最大値を求めるには、$a$ の値によって場合分けが必要です。

* $0 < a < 2$ のとき:

区間 $[0, a]$ で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = a$ のとき最大値をとります。

最大値は $y = -a^2 + 4a + 1$

* $2 \le a$ のとき:

頂点の $x$ 座標 $x = 2$ が区間 $[0, a]$ に含まれているので、$x = 2$ のとき最大値をとります。

最大値は $y = 5$

(2) 最小値を求める

最小値を求めるにも、$a$ の値によって場合分けが必要です。

* $0 < a \le 4$ のとき：

区間 $[0, a]$ で $x=0$で最大、$x=a$ で最小となる。

$x=0$の時、$y=1$

最小値は $y = -a^2 + 4a + 1$

* $4 < a$ のとき：

区間 $[0, a]$ で $x=0$で最大、$x=0$ で最小となる。

$x=0$の時、$y=1$

最小値は $y = 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

* $0 < a < 2$ のとき、$-a^2 + 4a + 1$

* $2 \le a$ のとき、$5$

(2) 最小値

* $0 < a \le 4$ のとき、$-a^2 + 4a + 1$

* $4 < a$ のとき、$1$