与えられた行列 $A$ のランクを求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 5 \\ 7 & 6 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ のランクを求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 5 \\ 7 & 6 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ のランクを求めるには、行列の基本変形（行基本変形）を行って階段行列に変形し、0でない行の数を数える方法が一般的です。

まず、1行目を基準にして、2行目、3行目、4行目を0にします。

$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$

$R_3 \rightarrow R_3 - 7R_1$

$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$

上記の操作をすると、行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & -13 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

次に、2行目を基準にして3行目を操作します。

$R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{2} R_2$

上記の操作をすると、行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -12 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

次に、3行目を基準にして4行目を操作します。

$R_4 \rightarrow R_4 + \frac{1}{12} R_3$

上記の操作をすると、行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -12 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

これで階段行列に変形できました。0でない行の数は4なので、行列 $A$ のランクは4です。

3. 最終的な答え

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