問題は、4次対称群 $S_4$ の全ての元を求め、それらを偶置換と奇置換に分類することです。

1. 問題の内容

問題は、4次対称群 $S_4$ の全ての元を求め、それらを偶置換と奇置換に分類することです。

2. 解き方の手順

$S_4$ は、4つの要素の集合 $\{1, 2, 3, 4\}$ の置換全体からなる群です。$S_4$ の要素の数は $4! = 24$ です。これらの要素を全て列挙し、それぞれが偶置換か奇置換かを判断する必要があります。置換が偶置換か奇置換かは、その置換を互換の積で表したときの互換の個数が偶数か奇数かによって決まります。偶数個の互換の積で表せる置換は偶置換、奇数個の互換の積で表せる置換は奇置換です。

$S_4$ の元をサイクル表記で分類します。

* 恒等置換: $(1)$。これは偶置換です。

* 互換 (2-サイクル): $(ab)$ の形。例: $(12)$。互換は奇置換です。${}_4C_2 = 6$ 個あります。

* 3-サイクル: $(abc)$ の形。例: $(123)$。3-サイクルは偶置換です。${}_4P_3 / 3 = 8$ 個あります。

* 4-サイクル: $(abcd)$ の形。例: $(1234)$。4-サイクルは奇置換です。${}_4P_4 / 4 = 6$ 個あります。

* 互換の積 (互いに素な2つの互換): $(ab)(cd)$ の形。例: $(12)(34)$。これは偶置換です。${}_4C_2 \times {}_2C_2 / 2 = 3$ 個あります。

$S_4$ の要素数は $1 + 6 + 8 + 6 + 3 = 24$ で、これは $4!$ に一致します。

偶置換は恒等置換、3-サイクル、互換の積（互いに素な2つの互換）です。その数は $1 + 8 + 3 = 12$ です。

奇置換は互換、4-サイクルです。その数は $6 + 6 = 12$ です。

3. 最終的な答え

$S_4$ の全ての元は以下の通りです。

偶置換:

* $(1)$

* $(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)$

* $(12)(34), (13)(24), (14)(23)$

奇置換:

* $(12), (13), (14), (23), (24), (34)$

* $(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)$

偶置換の数は12、奇置換の数は12です。