問題5: 次の等差数列において、初めて負の数が現れるのは第何項目からか。 (1) 第10項が30、第30項が10 (2) 第10項が100、第100項が-80 問題7: -5, b, 7 がこの順で等差数列をなすとき、b の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題5: 次の等差数列において、初めて負の数が現れるのは第何項目からか。

(1) 第10項が30、第30項が10

(2) 第10項が100、第100項が-80

問題7: -5, b, 7 がこの順で等差数列をなすとき、b の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題5(1):

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。

第10項が30なので、$a_{10} = a + 9d = 30$ ...(1)

第30項が10なので、$a_{30} = a + 29d = 10$ ...(2)

(2) - (1) より、$20d = -20$ だから $d = -1$。

(1) に代入して、$a + 9(-1) = 30$ より、$a = 39$。

よって、$a_n = 39 + (n-1)(-1) = 39 - n + 1 = 40 - n$。

$a_n < 0$ となるのは、$40 - n < 0$ より $n > 40$。

したがって、初めて負の数になるのは第41項目。

問題5(2):

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。

第10項が100なので、$a_{10} = a + 9d = 100$ ...(3)

第100項が-80なので、$a_{100} = a + 99d = -80$ ...(4)

(4) - (3) より、$90d = -180$ だから $d = -2$。

(3) に代入して、$a + 9(-2) = 100$ より、$a = 118$。

よって、$a_n = 118 + (n-1)(-2) = 118 - 2n + 2 = 120 - 2n$。

$a_n < 0$ となるのは、$120 - 2n < 0$ より $2n > 120$ だから $n > 60$。

したがって、初めて負の数になるのは第61項目。

問題7:

-5, b, 7 がこの順で等差数列をなすので、$b - (-5) = 7 - b$ が成り立つ。

$b + 5 = 7 - b$

$2b = 2$

$b = 1$

3. 最終的な答え

問題5(1): 第41項目

問題5(2): 第61項目

問題7: b = 1