2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + 1$ と $\beta + 1$ を解にもち、$x^2$ の係数が 1 である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + 1$ と $\beta + 1$ を解にもち、$x^2$ の係数が 1 である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ を整理します。両辺に $-1$ をかけて、

$x^2 - 3x - 2 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha\beta = -2$

次に、求める2次方程式の解を $\alpha' = \alpha + 1$ および $\beta' = \beta + 1$ とします。

これらの和と積を計算します。

$\alpha' + \beta' = (\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 3 + 2 = 5$

$\alpha'\beta' = (\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

$x^2$ の係数が 1 で、2つの解が $\alpha'$ および $\beta'$ である2次方程式は、次の式で表されます。

$x^2 - (\alpha' + \beta')x + \alpha'\beta' = 0$

求めた和と積を代入すると、

$x^2 - 5x + 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 5x + 2 = 0$