与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解いてください。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解いてください。

2. 解き方の手順

与えられた4次方程式の解を求めるために、因数定理を利用します。

まず、整数の解の候補をいくつか試します。$x=1$ を代入すると、$1 + 2 - 4 - 7 - 2 = -10 \neq 0$ なので、$x=1$ は解ではありません。

$x=-1$ を代入すると、$1 - 2 - 4 + 7 - 2 = 0$ なので、$x=-1$ は解です。

$x=2$ を代入すると、$16 + 16 - 16 - 14 - 2 = 0$ なので、$x=2$ は解です。

したがって、$x+1$ と $x-2$ は与えられた方程式の因数です。

$(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$ で与えられた4次式を割ることを考えます。

$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2$ を $x^2 - x - 2$ で割ると、商は $x^2 + 3x + 1$、余りは0となります。

したがって、$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x^2 - x - 2)(x^2 + 3x + 1) = (x+1)(x-2)(x^2 + 3x + 1) = 0$ となります。

残りの2つの解は、2次方程式 $x^2 + 3x + 1 = 0$ を解くことで求めることができます。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、4つの解は $x = -1, 2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

-1, 2, (-3+√5)/2, (-3-√5)/2