(1) 次の値を求めよ。 (1) $3^3$ (2) $8^{\frac{2}{3}}$ (3) $\sqrt[4]{32}$ (2) $2^x = t$ とするとき、次の式を $t$ を用いた式で表せ。 (1) $2^{3-x}$ (2) $4^x$ (3) $(\sqrt{2})^x$ (3) 次の関数のグラフをかけ。 (1) $y = 2^{-x} + 3$ (2) $y = 3^{1-x}$ (4) 次の方程式を解け。 (1) $3^{1-x} = \sqrt{3}$ (2) $(\frac{1}{2})^x = 4$ (5) 次の値を求めよ。 (1) $\log_2 32$ (2) $\log_5 \sqrt{5}$ (3) $\log_3 1$ (4) $\log_{10} 1000$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 次の値を求めよ。

(1) $3^3$

(2) $8^{\frac{2}{3}}$

(3) $\sqrt[4]{32}$

(2) $2^x = t$ とするとき、次の式を $t$ を用いた式で表せ。

(1) $2^{3-x}$

(2) $4^x$

(3) $(\sqrt{2})^x$

(3) 次の関数のグラフをかけ。

(1) $y = 2^{-x} + 3$

(2) $y = 3^{1-x}$

(4) 次の方程式を解け。

(1) $3^{1-x} = \sqrt{3}$

(2) $(\frac{1}{2})^x = 4$

(5) 次の値を求めよ。

(1) $\log_2 32$

(2) $\log_5 \sqrt{5}$

(3) $\log_3 1$

(4) $\log_{10} 1000$

2. 解き方の手順

(1)

(1) $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$

(2) $8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$

(3) $\sqrt[4]{32} = (32)^{\frac{1}{4}} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

(2)

(1) $2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{t}$

(2) $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

(3) $(\sqrt{2})^x = (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{x}{2}} = (2^x)^{\frac{1}{2}} = t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$

(3)

(1) $y = 2^{-x} + 3$ は、指数関数 $y = 2^{-x}$ を $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフになります。$y = 2^{-x}$ は $y = (\frac{1}{2})^x$ と同じなので、単調減少のグラフになります。

(2) $y = 3^{1-x} = 3 \cdot 3^{-x} = 3 \cdot (\frac{1}{3})^x$ は、指数関数 $y = (\frac{1}{3})^x$ を $y$ 軸方向に $3$ 倍したグラフになります。$y = (\frac{1}{3})^x$ は単調減少のグラフになります。グラフについては省略します。

(4)

(1) $3^{1-x} = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ より、$1-x = \frac{1}{2}$。したがって、$x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

(2) $(\frac{1}{2})^x = 4 = (\frac{1}{2})^{-2}$ より、$x = -2$。

(5)

(1) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

(2) $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

(3) $\log_3 1 = 0$

(4) $\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$

3. 最終的な答え

(1)

(1) $27$

(2) $4$

(3) $2^{\frac{5}{4}}$

(2)

(1) $\frac{8}{t}$

(2) $t^2$

(3) $\sqrt{t}$

(3) グラフは省略

(4)

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = -2$

(5)

(1) $5$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $0$

(4) $3$