二次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$3\alpha$、$3\beta$ を解とする、$x^2$ の係数が1の二次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$3\alpha$、$3\beta$ を解とする、$x^2$ の係数が1の二次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、元の二次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ について、解と係数の関係から、解 $\alpha$ と $\beta$ の和と積を求めます。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 5$

次に、$3\alpha$、$3\beta$ を解とする二次方程式を作ることを考えます。求める二次方程式を $x^2 + px + q = 0$ とおくと、解と係数の関係から、

$3\alpha + 3\beta = -p$

$(3\alpha)(3\beta) = 9\alpha\beta = q$

$\alpha + \beta = -2$ より、$3(\alpha + \beta) = 3(-2) = -6$。よって、$-p = -6$ より、$p = 6$。

$\alpha \beta = 5$ より、$9\alpha\beta = 9(5) = 45$。よって、$q = 45$。

したがって、求める二次方程式は $x^2 + 6x + 45 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2+6x+45=0$