2次方程式 $2x^2+12x+14=0$ の解が $x=-3\pm\sqrt{2}$ であることを利用して、2次式 $2x^2+12x+14$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2+12x+14=0$ の解が $x=-3\pm\sqrt{2}$ であることを利用して、2次式 $2x^2+12x+14$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

$2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることから、因数分解の形を考えます。

$x = -3 + \sqrt{2}$ より、$x + 3 - \sqrt{2} = 0$

$x = -3 - \sqrt{2}$ より、$x + 3 + \sqrt{2} = 0$

したがって、$2x^2+12x+14=0$ は、

$2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})=0$と因数分解できます。

よって、$2x^2+12x+14=2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$

ここで、$2x^2+12x+14$を因数分解するので、

$2x^2+12x+14=2(x^2+6x+7)$

$x^2+6x+7 = (x-(-3+\sqrt{2}))(x-(-3-\sqrt{2})) = (x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$

$=(x+3)^2 - (\sqrt{2})^2 = x^2 + 6x + 9 - 2 = x^2 + 6x + 7$

したがって、

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) = 2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$

答えの形式に合わせるために展開しない形にします。

3. 最終的な答え

$2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$