$3x^2 - 12x + 6 = 0$ の解が $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$3x^2 - 12x + 6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

$3x^2 - 12x + 6 = 0$ の解が $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$3x^2 - 12x + 6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた二次方程式 $3x^2 - 12x + 6 = 0$ の解が $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であることから、因数分解の形を推測します。

まず、$x = 2 + \sqrt{2}$ と $x = 2 - \sqrt{2}$ が解であることから、$x - (2 + \sqrt{2}) = 0$ と $x - (2 - \sqrt{2}) = 0$ が成り立ちます。

したがって、因数として $x - (2 + \sqrt{2})$ と $x - (2 - \sqrt{2})$ を持つはずです。

これら二つの因数の積は、

$(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2})) = (x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2}) = ((x - 2) - \sqrt{2})((x - 2) + \sqrt{2})$

これは、$A = x - 2$ とおくと、$(A - \sqrt{2})(A + \sqrt{2}) = A^2 - (\sqrt{2})^2 = A^2 - 2$ となります。

$A$ を $x - 2$ に戻すと、$(x - 2)^2 - 2 = x^2 - 4x + 4 - 2 = x^2 - 4x + 2$ となります。

したがって、$3x^2 - 12x + 6$ は $x^2 - 4x + 2$ で割り切れるはずです。実際に割ってみると、

$3x^2 - 12x + 6 = 3(x^2 - 4x + 2)$

したがって、$3x^2 - 12x + 6 = 3(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2})) = 3(x^2 - 4x + 2)$となります。

3. 最終的な答え

$3(x^2 - 4x + 2)$