与えられた2つの2次関数について、指定された範囲内での最大値と最小値、およびその時の $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された範囲内での最大値と最小値、およびその時の $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x + 3$ について

* 平方完成を行います。

$y = (x+2)^2 - 1$

* グラフの軸は $x = -2$ です。定義域 $-1 \le x \le 3$ 内に軸 $x=-2$ が含まれていることに注意します。

* 定義域の端点と軸での値を調べます。

* $x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

* $x = 3$ のとき、$y = (3)^2 + 4(3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24$

* $x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

* 上記の値から、最大値と最小値を判断します。

(2) $y = -2x^2 + 4x + 3$ について

* 平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 2x) + 3 = -2(x-1)^2 + 2 + 3 = -2(x-1)^2 + 5$

* グラフの軸は $x = 1$ です。定義域 $-2 \le x \le 2$ 内に軸 $x=1$ が含まれていることに注意します。

* 定義域の端点と軸での値を調べます。

* $x = -2$ のとき、$y = -2(-2)^2 + 4(-2) + 3 = -8 - 8 + 3 = -13$

* $x = 2$ のとき、$y = -2(2)^2 + 4(2) + 3 = -8 + 8 + 3 = 3$

* $x = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$

* 上記の値から、最大値と最小値を判断します。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 4x + 3$ の場合：

* 最大値：24 ($x = 3$ のとき)

* 最小値：-1 ($x = -2$ のとき)

(2) $y = -2x^2 + 4x + 3$ の場合：

* 最大値：5 ($x = 1$ のとき)

* 最小値：-13 ($x = -2$ のとき)