2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$4\alpha$, $4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$4\alpha$, $4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の解が $\alpha$, $\beta$ であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$$

$$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$$

$4\alpha$, $4\beta$ を解とする2次方程式は、

$$(x - 4\alpha)(x - 4\beta) = 0$$

$$x^2 - 4(\alpha + \beta)x + 16\alpha\beta = 0$$

ここで、$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$、$\alpha\beta = 2$ を代入すると、

$$x^2 - 4 \left( -\frac{1}{2} \right) x + 16(2) = 0$$

$$x^2 + 2x + 32 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x + 32 = 0$