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2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$5\alpha, 5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

代数学二次方程式解と係数の関係2次方程式の解
2025/6/25

1. 問題の内容

2次方程式 x2+2x+3=0x^2 + 2x + 3 = 0 の2つの解を α,β\alpha, \beta とするとき、5α,5β5\alpha, 5\beta を解とする x2x^2 の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 x2+2x+3=0x^2 + 2x + 3 = 0 の解が α\alpha と β\beta であるので、解と係数の関係より、
α+β=−2\alpha + \beta = -2
αβ=3\alpha \beta = 3
を得る。
5α5\alpha と 5β5\beta を解とする2次方程式は、
(x−5α)(x−5β)=0(x - 5\alpha)(x - 5\beta) = 0
と表せる。
これを展開すると、
x2−5αx−5βx+25αβ=0x^2 - 5\alpha x - 5\beta x + 25\alpha\beta = 0
x2−5(α+β)x+25αβ=0x^2 - 5(\alpha + \beta)x + 25\alpha\beta = 0
となる。
ここで、α+β=−2\alpha + \beta = -2 と αβ=3\alpha\beta = 3 を代入すると、
x2−5(−2)x+25(3)=0x^2 - 5(-2)x + 25(3) = 0
x2+10x+75=0x^2 + 10x + 75 = 0
となる。

3. 最終的な答え

x2+10x+75=0x^2 + 10x + 75 = 0

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