2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、 $2\alpha$, $2\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、 $2\alpha$, $2\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ を変形します。両辺に-1を掛けると、

$x^2 - 4x - 5 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha\beta = -5$

次に、$2\alpha$ と $2\beta$ を解とする2次方程式を考えます。

$x^2$ の係数が1なので、その2次方程式は

$(x - 2\alpha)(x - 2\beta) = 0$

と表すことができます。これを展開すると、

$x^2 - 2\alpha x - 2\beta x + 4\alpha\beta = 0$

$x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 4\alpha\beta = 0$

ここで、$\alpha + \beta = 4$ と $\alpha\beta = -5$ を代入すると、

$x^2 - 2(4)x + 4(-5) = 0$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$