与えられた式 $2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc$

この式を因数分解することを試みます。$a$ について整理すると、

$2a^2 + (5b - 7c)a + (3b^2 - 7bc)$

ここで、$3b^2 - 7bc = b(3b - 7c)$ であることに注意します。

式全体を$(2a + nb)(a + mb - lc)$のような形で因数分解できるか考えます。

$(2a + nb)(a + mb - lc) = 2a^2 + 2mab - 2lca + nab + nm b^2 - nlb c = 2a^2 + (2m+n)ab -2lca + nm b^2 - nlb c$

これを与えられた式と比較すると、

$2m+n=5$, $2l=7$, $nm=3$, $nl=7$

$l = \frac{7}{2}$, $n = \frac{7}{l} = \frac{7}{\frac{7}{2}} = 2$.

$2m+2=5 \Rightarrow 2m=3 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$.

$nm = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ となり、矛盾しません。

したがって、$2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc = (2a + 3b)(a+b)-7c(a+b)$のように変形できるか考えてみる。

与えられた式を因数分解すると、

$2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc = (2a+3b)(a+b) - 7c(a+b)$とはならない.

しかし，$3b^2-7bc = b(3b-7c)$であることから、$2a^2 + 5ab - 7ac + b(3b-7c)$を因数分解できるか考える。

与えられた式を因数分解すると、

$2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc = (2a+3b)(a+b-c)$

$= 2a^2+2ab-2ac+3ab+3b^2-3bc = 2a^2 + 5ab - 2ac + 3b^2 - 3bc \neq 2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc$

もう一度考えると、

$2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc = (2a+3b)(a+b) - 7c(a+b) = (2a+3b)(a+b)-7ca-7bc$ではないのでうまくいかない

しかし、$5ab - 7ac = a(5b-7c)$。$2a^2+a(5b-7c)+3b^2-7bc = 0$となる。

この式は因数分解できません。

3. 最終的な答え

因数分解できません。

$2a^2 + 5ab - 7ac + 3b^2 - 7bc$