公比2、初項1の等比数列 $\{a_n\}$ に対して、以下の2つの和を求めます。 (1) $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$ (2) $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n$

1. 問題の内容

公比2、初項1の等比数列 $\{a_n\}$ に対して、以下の2つの和を求めます。

(1) $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$

(2) $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$ の計算

数列 $\{a_n\}$ は初項1、公比2の等比数列なので、$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ と表せます。

よって、$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{2^{n-1}}$ です。

求める和は

$$S_1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$$

これは初項1、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の和なので、

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - (\frac{1}{2})^n) = 2 - 2^{1-n}$$

(2) $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n$ の計算

$a_n = 2^{n-1}$ より、$\log_2 a_n = \log_2 (2^{n-1}) = n-1$ です。

求める和は

$$S_2 = \sum_{k=1}^{n} \log_2 a_k = \sum_{k=1}^{n} (k-1) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n} = 2 - 2^{1-n}$

(2) $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n = \frac{n(n-1)}{2}$