公差がそれぞれ $d_1$, $d_2$ である2つの等差数列 $\\{a_n\\}$, $\\{b_n\\}$ が与えられたとき、数列 $c_n = -3a_n$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

## 問題6 (1)

1. **問題の内容**

公差がそれぞれ $d_1$, $d_2$ である2つの等差数列 $\\{a_n\\}$, $\\{b_n\\}$ が与えられたとき、数列 $c_n = -3a_n$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

2. **解き方の手順**

* 数列 $\\{a_n\\}$ が等差数列であることから、$a_{n+1} - a_n = d_1$ が成り立つ。

* 数列 $\\{c_n\\}$ の隣接する項の差を計算し、それが一定であることを示す。

* $c_{n+1} - c_n = -3a_{n+1} - (-3a_n) = -3(a_{n+1} - a_n) = -3d_1$

隣接する項の差が一定であることから数列 $\\{c_n\\}$ は等差数列である。

初項は、$c_1 = -3a_1$

公差は、$-3d_1$

3. **最終的な答え**

数列 $c_n = -3a_n$ は等差数列であり、初項は $-3a_1$, 公差は $-3d_1$ である。

## 問題6 (2)

1. **問題の内容**

公差がそれぞれ $d_1$, $d_2$ である2つの等差数列 $\\{a_n\\}$, $\\{b_n\\}$ が与えられたとき、数列 $c_n = a_n - 2b_n$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

2. **解き方の手順**

* 数列 $\\{a_n\\}$ が等差数列であることから、$a_{n+1} - a_n = d_1$ が成り立つ。

* 数列 $\\{b_n\\}$ が等差数列であることから、$b_{n+1} - b_n = d_2$ が成り立つ。

* 数列 $\\{c_n\\}$ の隣接する項の差を計算し、それが一定であることを示す。

* $c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 2b_{n+1}) - (a_n - 2b_n) = (a_{n+1} - a_n) - 2(b_{n+1} - b_n) = d_1 - 2d_2$

隣接する項の差が一定であることから数列 $\\{c_n\\}$ は等差数列である。

初項は、$c_1 = a_1 - 2b_1$

公差は、$d_1 - 2d_2$

3. **最終的な答え**

数列 $c_n = a_n - 2b_n$ は等差数列であり、初項は $a_1 - 2b_1$, 公差は $d_1 - 2d_2$ である。

## 問題7

1. **問題の内容**

$-5$, $b$, $7$ がこの順で等差数列をなすとき、$b$ の値を求める。

2. **解き方の手順**

* 等差数列の定義より、隣り合う項の差は一定である。

* したがって、$b - (-5) = 7 - b$ が成り立つ。

* この方程式を解いて、$b$ を求める。

$b + 5 = 7 - b$

$2b = 2$

$b = 1$

3. **最終的な答え**

$b = 1$