2次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用して、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$ の両辺を3で割ると、

$x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = \frac{2}{3}$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

得られた $\alpha + \beta = 2$ と $\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)^3 - 3 \times \frac{2}{3} \times 2$

$\alpha^3 + \beta^3 = 8 - 4$

$\alpha^3 + \beta^3 = 4$

3. 最終的な答え

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