問題は、不等式 $|x-\frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求め、さらに $a > 0$ のとき、不等式 $|x-\frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個となるような $a$ の範囲を求める、というものです。

1. 問題の内容

問題は、不等式 $|x-\frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求め、さらに $a > 0$ のとき、不等式 $|x-\frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個となるような $a$ の範囲を求める、というものです。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x-\frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を解きます。絶対値の不等式は、次のように書き換えることができます。

$-\frac{13}{3} < x - \frac{1}{3} < \frac{13}{3}$

各辺に $\frac{1}{3}$ を加えると、

$-\frac{13}{3} + \frac{1}{3} < x < \frac{13}{3} + \frac{1}{3}$

$-\frac{12}{3} < x < \frac{14}{3}$

$-4 < x < \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

この範囲にある整数 $x$ は、$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ の8個です。

次に、$|x-\frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ が5個であるような $a$ の範囲を考えます。同様に、

$-a < x - \frac{1}{3} < a$

$\frac{1}{3} - a < x < \frac{1}{3} + a$

整数 $x$ が5個あるということは、この範囲にある整数が5つということです。整数が5つあるということは、例えば$x=n,n+1,n+2,n+3,n+4$のようなものが解になりうるということです。

$x$が5個であるとき、$x$の範囲は$\frac{1}{3}-a < x < \frac{1}{3}+a$なので、

$\frac{1}{3}-a < n$ かつ $n+4 < \frac{1}{3}+a$ を満たす必要があります。

$x$の値が5個のとき、中心の値は$\frac{1}{3}$なので、中心から2個ずつずれた整数の範囲を考えます。

つまり、整数$x$が-2,-1,0,1,2であるときを考えます。

$\frac{1}{3}-a < -2$ かつ $2 < \frac{1}{3}+a$のとき、条件を満たします。

$\frac{1}{3}-a < -2$ より $2+\frac{1}{3} < a$ 、つまり$\frac{7}{3} < a$

$2 < \frac{1}{3}+a$ より $2-\frac{1}{3} < a$ 、つまり$\frac{5}{3} < a$

さらに、$\frac{1}{3}-a < -3$ または $3 < \frac{1}{3}+a$のとき、$x$の整数解は5個より多くなってしまいます。

$\frac{1}{3}-a < -3$ より $3+\frac{1}{3} < a$ 、つまり$\frac{10}{3} < a$

$3 < \frac{1}{3}+a$ より $3-\frac{1}{3} < a$ 、つまり$\frac{8}{3} < a$

$x$の解が5個であるためには、

$-3 \le \frac{1}{3}-a < -2$ と $2 < \frac{1}{3}+a \le 3$を満たす必要があります。

$-3 \le \frac{1}{3}-a$ より $a \le \frac{10}{3}$

$\frac{1}{3}-a < -2$ より $\frac{7}{3} < a$

$2 < \frac{1}{3}+a$ より $\frac{5}{3} < a$

$\frac{1}{3}+a \le 3$ より $a \le \frac{8}{3}$

$\frac{5}{3} < a \le \frac{8}{3}$と$\frac{7}{3} < a \le \frac{10}{3}$をあわせると、

$\frac{7}{3} < a \le \frac{8}{3}$となります。

3. 最終的な答え

ア: 8

イ: 7

ウ: 3

エ: 8

オ: 3

したがって、

$\frac{7}{3} < a \le \frac{8}{3}$