与えられた2つの行列の階数を求めます。 (i) $ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 5 \\ 4 & 3 & -5 & 3 \\ 3 & -1 & -2 & 4 \end{pmatrix} $ (ii) $ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 5 & -1 & 3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の階数を求めます。

(i)

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 5 \\ 4 & 3 & -5 & 3 \\ 3 & -1 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

(ii)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 5 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(i) 行列の階数を求めるには、行基本変形を用いて階段行列に変形し、0でない行の数を数えます。

まず、1行目を $-2$ 倍して2行目に加えます。また、1行目を $-\frac{3}{2}$ 倍して3行目に加えます。

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 9 & -7 & -7 \\ 0 & \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}$

次に、2行目を $\frac{7}{18}$ 倍して3行目から引きます。

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 9 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行は2行あります。したがって、階数は2です。

(ii) 行列の階数を求めるには、行基本変形を用いて階段行列に変形し、0でない行の数を数えます。

まず、1行目を $-1$ 倍して3行目に加えます。また、1行目を $-2$ 倍して4行目に加えます。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

次に、2行目を $-1$ 倍して3行目に加えます。また、2行目を $-1$ 倍して4行目に加えます。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -3 \end{pmatrix}$

次に、3行目を $-1$ 倍して4行目に加えます。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行は3行あります。したがって、階数は3です。

3. 最終的な答え

(i) の行列の階数は 2 です。

(ii) の行列の階数は 3 です。