与えられた行列の逆行列を求めたり、行列式を計算したり、行列の計算をしたり、連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。具体的には、 * 問1: 2x2 行列の逆行列を求める (2問) * 問2: 3x3 行列の行列式を計算する (3問) * 問3: 行列の積を計算する (3問) * 問4: 連立一次方程式をクラメルの公式で解く (2問)

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求めたり、行列式を計算したり、行列の計算をしたり、連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。具体的には、

* 問1: 2x2 行列の逆行列を求める (2問)

* 問2: 3x3 行列の行列式を計算する (3問)

* 問3: 行列の積を計算する (3問)

* 問4: 連立一次方程式をクラメルの公式で解く (2問)

2. 解き方の手順

* 問1: 2x2 行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で求められる。

* 問2: 3x3 行列 $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ の行列式は $|A| = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$ で計算される。

* 問3: 行列の積は、左側の行列の行と右側の行列の列の対応する要素を掛け合わせて足し合わせることで計算される。

* 問4: 連立一次方程式 $\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$ をクラメルの公式で解く場合、$x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$、$y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$ を用いる。

以下に各問の答えを示します。

**問1**

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}$ の行列式は $3 \cdot 8 - 2 \cdot 1 = 24 - 2 = 22$ なので、逆行列は $\frac{1}{22} \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/11 & -1/11 \\ -1/22 & 3/22 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 13 & 8 \\ 9 & 16 \end{pmatrix}$ の行列式は $13 \cdot 16 - 8 \cdot 9 = 208 - 72 = 136$ なので、逆行列は $\frac{1}{136} \begin{pmatrix} 16 & -8 \\ -9 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/17 & -1/17 \\ -9/136 & 13/136 \end{pmatrix}$

**問2**

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式は $2(0-(-2)) - (-3)(-3-3) + 2(2-0) = 2(2) + 3(-6) + 2(2) = 4 - 18 + 4 = -10$

(2) $B = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 5 \\ 4 & 2 & -3 \\ 0 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式は $-3(2-12) - (-1)(4-0) + 5(-16-0) = -3(-10) + 1(4) + 5(-16) = 30 + 4 - 80 = -46$

(3) $C = \begin{pmatrix} 9 & 1 & 8 \\ 4 & -1 & 4 \\ 5 & 9 & 7 \end{pmatrix}$ の行列式は $9(-7-36) - 1(28-20) + 8(36-(-5)) = 9(-43) - 1(8) + 8(41) = -387 - 8 + 328 = -67$

**問3**

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot 2 & 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ -1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 & -1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 6 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 7 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 6 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 7 \\ 5 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 5 \cdot 6 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 32 \\ 5 & 40 \\ 9 & 28 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & 7 & 2 \\ 2 & 9 & 8 \\ -5 & -6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 5 & 6 \\ 8 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 5 + 7 \cdot 5 + 2 \cdot 8 & 0 \cdot 6 + 7 \cdot 6 + 2 \cdot 7 \\ 2 \cdot 5 + 9 \cdot 5 + 8 \cdot 8 & 2 \cdot 6 + 9 \cdot 6 + 8 \cdot 7 \\ -5 \cdot 5 + (-6) \cdot 5 + 9 \cdot 8 & -5 \cdot 6 + (-6) \cdot 6 + 9 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 & 56 \\ 119 & 122 \\ 17 & 15 \end{pmatrix}$

**問4**

(1) $\begin{cases} 5x_1 + 2x_2 = 1 \\ x_1 + 5x_2 = 7 \end{cases}$

$D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5 \cdot 5 - 2 \cdot 1 = 25 - 2 = 23$

$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 5 - 14 = -9$

$D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 5 \cdot 7 - 1 \cdot 1 = 35 - 1 = 34$

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-9}{23}$, $x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{34}{23}$

(2) $\begin{cases} -6x_1 + 5x_2 = 2 \\ 4x_1 + 2x_2 = 8 \end{cases}$

$D = \begin{vmatrix} -6 & 5 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -6 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = -12 - 20 = -32$

$D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 5 \cdot 8 = 4 - 40 = -36$

$D_2 = \begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = -6 \cdot 8 - 2 \cdot 4 = -48 - 8 = -56$

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-36}{-32} = \frac{9}{8}$, $x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-56}{-32} = \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

問1:

(1) $\begin{pmatrix} 4/11 & -1/11 \\ -1/22 & 3/22 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2/17 & -1/17 \\ -9/136 & 13/136 \end{pmatrix}$

問2:

(1) -10

(2) -46

(3) -67

問3:

(1) $\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & 32 \\ 5 & 40 \\ 9 & 28 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 51 & 56 \\ 119 & 122 \\ 17 & 15 \end{pmatrix}$

問4:

(1) $x_1 = -\frac{9}{23}$, $x_2 = \frac{34}{23}$

(2) $x_1 = \frac{9}{8}$, $x_2 = \frac{7}{4}$