放物線 $y=2x^2$ と直線が点Aと点Bで交わっている。点Aの$x$座標は-1であり、点Bの$x$座標は正である。直線の切片は6である。 (1) この直線の方程式を求めなさい。 (2) $\triangle OAB$の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2$ と直線が点Aと点Bで交わっている。点Aの$x$座標は-1であり、点Bの$x$座標は正である。直線の切片は6である。

(1) この直線の方程式を求めなさい。

(2) $\triangle OAB$の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、点Aの座標を求める。点Aは放物線 $y=2x^2$ 上にあるので、$x=-1$ を代入すると、

$y = 2(-1)^2 = 2$

よって、点Aの座標は $(-1, 2)$ である。

次に、直線の式を $y=ax+b$ とおく。直線の切片は6なので、$b=6$ である。よって、直線の式は $y=ax+6$ となる。

点A $(-1, 2)$ は直線上にあるので、この座標を代入すると、

$2 = a(-1) + 6$

$2 = -a + 6$

$a = 6 - 2 = 4$

したがって、直線の方程式は $y=4x+6$ である。

(2) 点Bの座標を求める。点Bは放物線 $y=2x^2$ と直線 $y=4x+6$ の交点であるから、$2x^2 = 4x + 6$ を解く。

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

点Bの$x$座標は正であるから、$x=3$。このとき、$y=2(3)^2 = 18$。

よって、点Bの座標は $(3, 18)$ である。

$\triangle OAB$ の面積を求める。点A $(-1, 2)$, 点B $(3, 18)$, 点O $(0, 0)$

$\triangle OAB$ の面積は、座標を使った公式で計算できる。

面積 $S = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A|$

$S = \frac{1}{2} |(-1)(18) - (3)(2)|$

$S = \frac{1}{2} |-18 - 6|$

$S = \frac{1}{2} |-24|$

$S = \frac{1}{2} (24)$

$S = 12$

3. 最終的な答え

(1) $y=4x+6$

(2) 12