2次方程式 $2x^2 - 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係は以下のようになります。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $2x^2 - 4x + 3 = 0$ において、$a = 2$, $b = -4$, $c = 3$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$

$\alpha \beta = \frac{3}{2}$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha\beta)$ を用いて表します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

この式に $\alpha + \beta = 2$ と $\alpha \beta = \frac{3}{2}$ を代入します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)^3 - 3 \times \frac{3}{2} \times 2 = 8 - 9 = -1$

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + \beta^3 = -1$