2次関数 $f(x) = a(x-1)^2 + b$ があり、$a>0$ とする。$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値が2、最小値が-6であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = a(x-1)^2 + b$ があり、$a>0$ とする。$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値が2、最小値が-6であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = a(x-1)^2 + b$ は、頂点が $(1, b)$ で、$a>0$ なので下に凸の放物線です。

区間 $0 \le x \le 3$ を考えます。軸 $x=1$ はこの区間に含まれています。

$x=1$ で最小値を取り、$x=3$ で最大値を取ります。

最小値は $f(1) = a(1-1)^2 + b = b = -6$ となります。

最大値は $f(3) = a(3-1)^2 + b = 4a + b = 2$ となります。

$b = -6$ を $4a + b = 2$ に代入すると、

$4a - 6 = 2$

$4a = 8$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -6$