数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^{n+1} - n - 2$ で表されるとき、以下の問題を解く。 (1) 数列$\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k+1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^{n+1} - n - 2$ で表されるとき、以下の問題を解く。

(1) 数列$\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k+1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$= (2^{n+1} - n - 2) - (2^n - (n-1) - 2)$

$= 2^{n+1} - n - 2 - 2^n + n - 1 + 2$

$= 2^{n+1} - 2^n - 1$

$= 2^n (2 - 1) - 1$

$= 2^n - 1$

$n = 1$ のとき、

$a_1 = S_1 = 2^{1+1} - 1 - 2 = 4 - 1 - 2 = 1$

$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ となり、 $n=1$ のときも成り立つ。

よって、$a_n = 2^n - 1$ ( $n \ge 1$)

(2)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k + 1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2^k - 1) + 1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}$

これは初項 $\frac{1}{2}$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}}$

$= \frac{\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2^n})}{\frac{1}{2}}$

$= 1 - \frac{1}{2^n}$

$= \frac{2^n - 1}{2^n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^n - 1$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k+1} = \frac{2^n - 1}{2^n}$