放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を (1) $y$ 軸方向と(2) $x$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにしたとき、それぞれの放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を (1) $y$ 軸方向と(2) $x$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにしたとき、それぞれの放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y$ 軸方向への平行移動の場合:

$y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 + p$ となります。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、 $x = 0, y = 0$ を代入すると、 $0 = 0^2 - 4(0) + 3 + p$ より、$0 = 3 + p$ となります。

したがって、$p = -3$ となります。

よって、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 - 3 = x^2 - 4x$ となります。

(2) $x$ 軸方向への平行移動の場合:

$x$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y = (x - q)^2 - 4(x - q) + 3$ となります。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、$x = 0, y = 0$ を代入すると、$0 = (0 - q)^2 - 4(0 - q) + 3$ となります。

よって、$0 = q^2 + 4q + 3$ となります。

これは $q$ についての二次方程式なので、因数分解すると $(q + 1)(q + 3) = 0$ となります。

したがって、$q = -1$ または $q = -3$ となります。

$q = -1$ のとき、$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3 = x^2 - 2x$ となります。

$q = -3$ のとき、$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3 = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3 = x^2 + 2x$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 4x$

(2) $y = x^2 - 2x$ または $y = x^2 + 2x$