2次式 $x^2 - 4x + 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

2次式 $x^2 - 4x + 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この2次式は、整数係数の範囲では因数分解できません。そのため、解の公式を用いて解を求め、それを利用して因数分解します。

まず、2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の解を求めます。解の公式は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

です。ここで、$a=1, b=-4, c=2$ なので、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、解は $x = 2 + \sqrt{2}$ と $x = 2 - \sqrt{2}$ です。

このとき、$x = \alpha$ が解ならば、$(x - \alpha)$ が因数となることを利用すると、

$x^2 - 4x + 2 = (x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$

$x^2 - 4x + 2 = (x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2})$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2})$