2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}$, $\frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}$, $\frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ を $x^2 - 4x - 2 = 0$ と変形する。

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 4$$

$$\alpha \beta = -2$$

$\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式を求める。

2つの解の和は

$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{4}{-2} = -2$$

2つの解の積は

$$\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$

したがって、$x^2$ の係数が1で、解が $\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ である2次方程式は

$$x^2 - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})x + \frac{1}{\alpha \beta} = 0$$

$$x^2 - (-2)x - \frac{1}{2} = 0$$

$$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$$

分数をなくすために2倍すると、$2x^2 + 4x - 1 = 0$ となるが、$x^2$の係数が1である必要があるので、$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$ が求める2次方程式である。

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$