以下の2つの2次関数の最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。 (1) $y = x^2 - 6x + 7$ (2) $y = -x^2 - 2x + 2$

1. 問題の内容

以下の2つの2次関数の最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

(1) $y = x^2 - 6x + 7$

(2) $y = -x^2 - 2x + 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 6x + 7$

まず、平方完成を行う。

$y = x^2 - 6x + 9 - 9 + 7$

$y = (x - 3)^2 - 2$

この式は、下に凸の放物線を表しており、頂点の座標は $(3, -2)$ である。

したがって、$x = 3$ のとき、最小値 $-2$ をとる。最大値は存在しない。

(2) $y = -x^2 - 2x + 2$

まず、平方完成を行う。

$y = -(x^2 + 2x) + 2$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 2$

$y = -(x + 1)^2 + 3$

この式は、上に凸の放物線を表しており、頂点の座標は $(-1, 3)$ である。

したがって、$x = -1$ のとき、最大値 $3$ をとる。最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 6x + 7$ の最小値は $-2$ ($x = 3$ のとき)。最大値は存在しない。

(2) $y = -x^2 - 2x + 2$ の最大値は $3$ ($x = -1$ のとき)。最小値は存在しない。