2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = \frac{-(-4)}{2} = 2$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

次に、求める2次方程式の2つの解 $\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ の和と積を計算します。

$$\frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} = 4 \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = 4 \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right) = 4 \left( \frac{2}{\frac{1}{2}} \right) = 4 \times 4 = 16$$

$$\frac{4}{\alpha} \cdot \frac{4}{\beta} = \frac{16}{\alpha \beta} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 16 \times 2 = 32$$

したがって、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解とする、$x^2$ の係数が1である2次方程式は、

$$x^2 - \left( \frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} \right) x + \frac{4}{\alpha} \cdot \frac{4}{\beta} = 0$$

$$x^2 - 16x + 32 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 - 16x + 32 = 0$