問題5(1): 等差数列の第10項が30、第30項が10であるとき、初めて負の数が現れるのは第何項目か求めよ。 問題6(2): 2つの等差数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$の公差がそれぞれ$d_1, d_2$であるとき、数列$\{c_n\}$が$c_n = a_n - 2b_n$で定義される。数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示し、その初項と公差を求めよ。 問題7: -5, b, 7がこの順で等差数列をなすとき、bの値を求めよ。

以下に、OCRで読み取れた問題のうち、問題5(1), 6(2), 7について解答します。

1. 問題の内容

問題5(1): 等差数列の第10項が30、第30項が10であるとき、初めて負の数が現れるのは第何項目か求めよ。

問題6(2): 2つの等差数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$の公差がそれぞれ$d_1, d_2$であるとき、数列$\{c_n\}$が$c_n = a_n - 2b_n$で定義される。数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示し、その初項と公差を求めよ。

問題7: -5, b, 7がこの順で等差数列をなすとき、bの値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題5(1):

等差数列の一般項を$a_n = a + (n-1)d$と置く。

第10項が30より、$a_{10} = a + 9d = 30$

第30項が10より、$a_{30} = a + 29d = 10$

この2式を連立して解く。

$a + 29d = 10$

$a + 9d = 30$

辺々引くと、$20d = -20$より、$d = -1$

$a + 9(-1) = 30$より、$a = 39$

よって、$a_n = 39 - (n-1) = 40 - n$

$a_n < 0$となるのは、$40 - n < 0$すなわち、$n > 40$のとき。

したがって、初めて負の数が現れるのは第41項目。

問題6(2):

$a_n = a_1 + (n-1)d_1$, $b_n = b_1 + (n-1)d_2$とおく。

$c_n = a_n - 2b_n = (a_1 + (n-1)d_1) - 2(b_1 + (n-1)d_2) = (a_1 - 2b_1) + (n-1)(d_1 - 2d_2)$

$c_1 = a_1 - 2b_1$

$c_{n+1} = a_{n+1} - 2b_{n+1} = (a_1 + nd_1) - 2(b_1 + nd_2) = (a_1 - 2b_1) + n(d_1 - 2d_2)$

$c_{n+1} - c_n = ((a_1 - 2b_1) + n(d_1 - 2d_2)) - ((a_1 - 2b_1) + (n-1)(d_1 - 2d_2)) = d_1 - 2d_2$

これは$n$に依存しないので、$\{c_n\}$は等差数列である。

初項は、$c_1 = a_1 - 2b_1$

公差は、$d_1 - 2d_2$

問題7:

等差数列なので、$b - (-5) = 7 - b$

$b + 5 = 7 - b$

$2b = 2$

$b = 1$

3. 最終的な答え

問題5(1): 第41項目

問題6(2): 初項 $a_1 - 2b_1$, 公差 $d_1 - 2d_2$

問題7: $b = 1$