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$3-2i$ と $3+2i$ を解にもつ、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

代数学二次方程式複素数解と係数の関係
2025/6/25

1. 問題の内容

3−2i3-2i と 3+2i3+2i を解にもつ、x2x^2 の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解が α\alpha と β\beta であるとき、その方程式は x2−(α+β)x+αβ=0x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 と表せます。
まず、解の和 α+β\alpha + \beta を計算します。
α+β=(3−2i)+(3+2i)=3−2i+3+2i=6\alpha + \beta = (3 - 2i) + (3 + 2i) = 3 - 2i + 3 + 2i = 6
次に、解の積 αβ\alpha\beta を計算します。
αβ=(3−2i)(3+2i)=32−(2i)2=9−4i2=9−4(−1)=9+4=13\alpha\beta = (3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13
したがって、求める2次方程式は x2−6x+13=0x^2 - 6x + 13 = 0 です。

3. 最終的な答え

x2−6x+13=0x^2 - 6x + 13 = 0

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