多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $2$ であり、$x+2$ で割ると余りが $-7$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $2$ であり、$x+2$ で割ると余りが $-7$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

多項式 $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは、一般的に $ax+b$ の形で表せる。なぜなら、$(x-1)(x+2)$ は2次式であるから、余りは最大でも1次式になるからである。

したがって、

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b$

と表せる。ここで、$Q(x)$ は商である。

$P(1) = 2$ であるから、

$P(1) = (1-1)(1+2)Q(1) + a(1) + b = a + b = 2$

$P(-2) = -7$ であるから、

$P(-2) = (-2-1)(-2+2)Q(-2) + a(-2) + b = -2a + b = -7$

これらの2つの式から、$a$ と $b$ を求める。

$a+b=2$

$-2a+b=-7$

上の式から下の式を引くと、

$(a+b) - (-2a+b) = 2 - (-7)$

$3a = 9$

$a = 3$

$a+b=2$ に $a=3$ を代入すると、

$3+b=2$

$b = -1$

したがって、余りは $3x - 1$ となる。

3. 最終的な答え

$3x - 1$